Тема 2.8: Стійкість стиснених стержнів.

План

1. Критична сила. Формула Ейлера для різних випадків закріплення опор.

2. Критичне напруження. Емпіричні формули для визначення критичних напружень. Залежність критичних напружень від гнучкості стержня.

3. Розрахунки на стійкість за формулою Ейлера. Раціональні форми поперечних перерізів стиснених стержнів.

1. Критична сила. Формула Ейлера для різних випадків закріплення опор.

Не завжди достатня міцність і жорсткість стержня забезпечують його повну надійність. З історії техніки можна навести багато прикладів, коли причиною аварій інженерних конструкцій була втрата стійкості її стиснених елементів.

Навантаження при яких втрачається стійкість, називають критичними, а відповідні стани – критичними станами. Небезпека втрати стійкості особливо велика для легких, тонкостінних конструкцій типу гнучких стержнів, пластинок і оболонок.

Критичною силою називають найбільше значення стискаючої сили, прикладеної центрально, до якої прямолінійна форма рівноваги стержня є стійкою.

Згин, пов’язаний з втратою стійкості прямолінійної форми стержня, називають поздовжнім згином.

Якщо стискаючі сили хоч трохи перевищують критичне значення, то додаткові напруги згину досягають досить значних величин і безпосередньо загрожують міцності конструкції.

Щоб забезпечити стійкість, необхідно, щоб стискаюча сила F , яка діє на стержень, була меншою за критичну.

Позначимо допустиму стискаючу силу [F], тоді

де  - допустимий коефіцієнт запасу стійкості.

Значення коефіцієнта запасу міцності залежить від призначення стержня і його матеріалу.

 - для сталей;

- для чавунів;

- для дерева.

Леонард Ейлер вивів формулу для визначення величини критичної сили:

де Е - модуль пружності першого роду;

J_min - найменший з осьових моментів інерції перерізу, оскільки стержень викривляється в площині найменшої жорсткості, в чому легко впевнитись, стискаючи поздовжньою силою лінійку;

l - довжина стержня;

μ - коефіцієнт зведення довжини, який залежить від способу кріплення кінців стержня.

  На рис. 1 зображено способи кріплення кінців стержня, які найчастіше застосовують, і наведено значення μ:

1) обидва кінці стержня закріплені шарнірно і можуть зближуватися (а);

2) нижній кінець жорстко закріплений, верхній вільний (б);

3) один кінець закріплений шарнірно, другий має «плаваюче» кріплення (в);

4) нижній кінець закріплений жорстко, верхній має «плаваюче» кріплення (г);

5) обидва кінці жорстко закріплені, але можуть зближуватися (д);

6) нижній кінець закріплений жорстко, верхній – шарнірно (г);

Рис.1

Зазначимо, що чим менше μ, тим більша критична сила, а отже, і допустиме стискаюче навантаження. Наприклад, стискаюче навантаження стержня, жорстко закріпленого обома кінцями (μ = 0,5), може бути в 16 раз більше від навантаження стержня, закріпленого одним кінцем (μ = 2). Тому там, де це можливо, треба жорстко кріпити обидва кінці стержня.

2. Критичне напруження. Емпіричні формули для визначення критичних напружень. Залежність критичних напружень від гнучкості стержня.

     Виведення формули Ейлера ґрунтується на законі Гука, який дійсний доти, поки напруга не перевищує границі пропорційності. Тому формулою Ейлера можна користуватися не завжди. Для визначення границь застосовності формули Ейлера знайдемо критичну напругу σ_кр, тобто напругу, яка виникає в поперечному перерізі А стержня під дією критичної сили:

,

 - найменший радіус інерції поперечного перерізу стержня.

Перепишемо формулу для σ_кр так: ,

вираз  гнучкість стержня, це безрозмірна величина, яка характеризує  вплив    розмірів стержня і способу закріплення його кінців.

Формула критичної напруги:

Формулою Ейлера можна користуватися тільки тоді, коли виконується умова:   

,

де:   - границя пропорційності матеріалу стержня. 

 -  гранична гнучкість.

Гранична гнучкість залежить лише від фізико-механічних властивостей матеріалу стержня і стала для даного матеріалу.

За допомогою поняття граничної гнучкості умову застосовності формули Ейлера можна записати у вигляді  , тобто формула Ейлера застосовна тільки тоді, коли гнучкість стержня більша або дорівнює граничній гнучкості для матеріалу, з якого його виготовлено.

Обчислимо, як приклад, значення  для маловуглецевої сталі Ст.3. Для сталі Ст.3  = 200 МПа, а  Е = 2·10⁵ МПа, тоді

Для стержнів з маловуглецевої сталі формула Ейлера застосовна, якщо їх гнучкість λ_кр =100. Аналогічно можна обчислити значення граничної гнучкості для інших матеріалів. Зокрема, для чавуну λ_кр = 80; для дерева (сосна) λ_кр=110.

Якщо гнучкість стержнів менша від наведених величин, то формула Ейлера вже не застосовна і в розрахунках користуються формулою   Ясинського:

а і в - коефіцієнти, які залежать від матеріалу; їх беруть з довідкових таблиць. Якщо гнучкість λ_кр < 40, стержні можна розраховувати на міцність при простому стисканні, не враховуючи небезпеки поздовжнього згину, тобто за формулою .

Рис.2

Отже, при малих значеннях λ_кр (λ_кр < 40) стержні з маловуглецевої сталі розраховують на просте стискання; при середніх значеннях (40λ_кр<100) розраховують за формулою Ясинського, а при великих (λ_кр 100) – за формулою Ейлера.

Графік залежності критичної напруги  від гнучкості для стержнів з мало вуглецевої сталі зображено на рис.2. Зазначимо, що:

1) При малих значеннях λ_кр критична напруга σ_кр дорівнює границі текучості σ_Т ;

2)  При середніх значеннях λ_кр критична напруга менше від границі текучості σ_Т, але більше, ніж границя пропорційності ();

3) При великих значеннях λ_кр критична напруга менша від границі пропорційності.

3.  Розрахунки на стійкість за формулою Ейлера. Раціональні форми поперечних перерізів стиснених стержнів.

Розрізнюють три види розрахунків на стійкість:

1) Перевірний розрахунок, коли визначають коефіцієнт запасу стійкості n_ст і порівнюють знайдене значення з допустимим [n_ст]:  ;

2) Визначення допустимого навантаження ;

3) Проектний розрахунок, коли визначають потрібне значення мінімаль-ного моменту інерції поперечного перерізу стержня:

,

після чого знаходять гнучкість і порівнюють з граничною.

 Розрахунки показують, що найвигіднішими під час роботи стержнів на стиск є кільцеві і коробочні тонкостінні перерізи. Доведено, що заміна стиснених стержнів у вигляді кутників і двотаврів трубчастими стержнями дає економію матеріалу до 20... 40 %.

Запитання для самоконтролю:

1. Що називається критичним станом ?

2. Що називається критичною силою ?

3. Що називається поздовжнім згином ?

4. Якою повинна бути стискаюча сила, щоб забезпечити стійкість стержня ?

5. Який вигляд має формула Ейлера для визначення критичної сили ?

6. Від чого залежить значення коефіцієнта запасу міцності ?

7. Які існують способи кріплення кінців стержня ?

8.  За якою формулою знаходять гнучкість стержня ?

9. Який вигляд має формула Ейлера для визначення критичної напруги ?

10.  Який вигляд має формула Ясинського для визначення критичної напруги ?

11.  Вкажіть межі застосування формули Ейлера.

12.  Які існують види розрахунку стержнів на стійкість ?

Попередня тема Теоретичні відомості Наступна тема