Тема 2.3: Практичні розрахунки на зріз і зминання.

План

1. Чистий зсув.

2. Закон Гука для зсуву. Модуль зсуву. Залежність між трьома пружними постійними для ізотропного тіла.

3. Зріз. Основні припущення та розрахункові формули.

4. Зминання, умовності розрахунку, розрахункові формули.

1. Чистий зсув.

Зсувом називають такий вид деформації, за якої в будь-якому поперечному перерізі виникає лише поперечна сила.

Деформацію зсуву можна спостерігати, наприклад під час різання ножицями металевих штаб або прутків.

Рис. 1.

При визначенні напруг на похилих площадках у розтягнених або стиснених брусах встановлено, що в цих перерізах виникають, крім нормальних, дотичні напруги. Останні намагаються зсунути одну частину бруса відносно другої.

Розглянемо паралелепіпед, який закріплений нижньою гранню і на який діє сила Q (рис. 1)

Під дією сили грань ab переміститься в положення а'b'.

Коли на площадки елемента діють тільки дотичні напруги, в ньому виникають деформації чистого зсуву.

Лінійне переміщення аа' називається абсолютним зсувом. Відношення абсолютного зсуву аа' = ∆S до висоти паралелепіпеда h називається відносним зсувом, тобто:

Внаслідок малої величини кута тангенс можна замінити кутом. Отже, мірою відносного зсуву є кут γ.

2.  Закон Гука для зсуву. Модуль зсуву. Залежність між трьома пружними постійними для ізотропного тіла.

На основі дослідних і теоретичних досліджень встановлено, для багатьох матеріалів у границях пружності існує лінійна залежність між дотичними напругами і відносним зсувом. Ця залежні називається законом Гука для зсуву, її записують у такому вигляді:         

,     

G – модуль пружності при зсуві (модуль зсуву).

Орієнтовні значення модуля зсуву:

- для сталі – 8·10⁴ МПа;

- для чавуну – 4,5·10⁴ МПа.

Отже, дотичні напруги при зсуві прямо і порційні куту зсуву.

Ця формула виражає теоретичну залежність між модулем пружності при зсуві та модулем пружності при розтягу через коефіцієнт Пуассона.

3. Зріз. Основні припущення та розрахункові формули.

Деталі, які служать для з’єднання окремих елементів машин чи будівельних конструкцій (штифти, заклепки, болти, шпонки рис.1 а,б,в,г), у багатьох випадках сприймають навантаження, перпендикулярні до їх поздовжньої осі.

Рис. 2.

 Практичні розрахунки таких деталей базуються на таких припущеннях:

1) в поперечному перерізі виникає тільки один внутрішній силовий фактор – поперечна сила Q;

2) дотичні напруги, які виникають в поперечному перерізі розпо-діляються по його площі рівномірно;

3) у випадку, якщо з’єднання виконане декількома однаковими деталями, вважаємо, що всі вони навантажені однаково.

Рис.3

    Руйнування  з’єднуючих деталей ( у випадку недостатньої міцності) відбувається в результаті перерізання по площині, яка співпадає з поверхнею дотикання  з’єднуваних  деталей (рис.2). Тому говорять, що ці елементи працюють на зріз.      

Умова міцності на зріз:

  де   – розрахункова напруга зрізу; 

Q – поперечна сила; 

А_зр – площа зрізу однієї деталі;

 - допустима напруга зрізу.

У машинобудуванні при розрахунках штифтів, болтів, шпонок тощо приймають

,

де  , – границя текучості та допустима напруга розтягу відповідно для матеріалу деталі.

Розрахунок на зріз забезпечує міцність з’єднання елементів але не гарантує надійність конструкції взагалі.

4. Зминання, умовності розрахунку, розрахункові формули.

Коли деталі конструкцій, які передають значне стискаюче навантаження, мають невелику площу контакту, то поверхні цих деталей можуть зминатися. Щоб не сталося зминання, під гайки і головки болтів, наприклад, підкладають шайби. Для спрощення розрахунків вважають, що при площинному контакті виникають нормальні напруги зминання, що рівномірно розподілені по площі контакту. Розрахункове рівняння на зминання має вигляд

де  F – стискаюча сила;

– допустима напруга на зминання;

А_зм – площа зминання;

і – кількість деталей в з’єднанні.

 Якщо дотичні деталі виготовлені з різних матеріалів, то на зминання перевіряють м'якший матеріал.

Для двох деталей, які контактують циліндричними поверхнями (наприклад, заклепочне з'єднання), закон розподілу напруг зминання  по поверхні контакту складний, рис.3.

Рис.5

Тому в розрахункову формулу зминання циліндричних отворів підставляють не площу бокової поверхні півциліндра, по якій контактують деталі, а значно меншу площу діаметрального перерізу отвору (умовна площа зминання);  тоді                        А_зм=d∙s

де  d – діаметр отвору;

s – товщина з'єднуваної деталі (висота циліндра).

Якщо з'єднувані деталі мають різну товщину, то в розрахункову  формулу підставляють меншу.

У машинобудуванні допустимі напруги на зминання для болтових, штифтових і шпонкових з'єднань з маловуглецевої сталі беруть у межах =100... 120 МПа, для заклепочних з'єднань = 240...320 МПа, для деревини (сосна, дуб) – = 2,4…11 МПа залежно від сорту деревини і напряму стискаючої сили відносно напряму волокон.

Умови міцності на зріз і зминання використовують для перевірки міцності з'єднання. В залежності від постановки задачі вони можуть бути перетворені для визначення допустимого навантаження  або необхідної площі перерізу (проектний розрахунок).

Запитання для самоконтролю:

1. Яку деформацію називають зсувом ?

2. Який зсув називається відносним ?

3. Що є мірою відносного зсуву ?

4. Сформулюйте закон Гука для зсуву.

5. назвіть формулу, що виражає теоретичну залежність між модулем пружності при зсуві та модулем пружності при розтягу ?

6. При якій деформації у поперечному перерізі виникає лише поперечна сила ?

7. Як розподіляються дотичні напруги при зрізі ?

8. Сформулюйте умову міцності на зріз.

9. Яка деформація називається зминанням ?

10. як визначити площу поверхні зминання ?

11. Сформулюйте умову міцності на зминання.

Попередня тема Теоретичні відомості Наступна тема